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" A ausência de conhecimento e informação é alma da ignorância"

Michele B. de Mendonça

segunda-feira, 14 de outubro de 2013

Números: uma ideia que revolucionou a maneira de pensar



números: uma ideia que revolucionou a maneira de pensar
Edson da Silva e Michele Bulhões de Mendonça[1]
Luiz Galdino[2]

Resumo

Conjectura-se que há milhões de anos as civilizações, já manuseavam a matemática, mesmo sem saber contar. Assim, surgiu à necessidade e curiosidade do homem em saber o significado de “quantidade” e, nossa primeira atitude houve necessidade de registros de representação. Mas os homens não conheciam os números, nem seu conceito e, muito menos sabiam contar. Então como surgiram os números? Para responder a essa indagação e a muitas outras, precisa-se ter uma ideia de como os homens viviam e quais eram suas necessidades. Buscando responder a essas indagações, haja vista a importância desse conceito para se compreender a matemática, este estudo, trata de uma pesquisa bibliográfica que será fundamentada nos estudos de Boyer (1974) quando trata da História da Matemática, Eves (1997) quando trata à História da Matemática. Espera-se que esta discussão possa contribuir para reflexões em minha futura trajetória.

Palavras-chave: Civilizações antigas. Números. Matemática.

Introdução

O objetivo deste estudo é esclarecer as indagações da criação dos números, seu surgimento e sua utilização. Para responder a todas estas perguntas, precisa-se, primeiramente, saber como viviam os homens há milhões de anos e quais eram suas necessidades. No início de nossa civilização, o homem precisava: caçar, pescar, colher frutos para se alimentar e usava como instrumento, trabalho e defensa, paus e pedras.
Na intenção de compreender o processo de construção desse conceito, procura-se fundamentar nos estudos de Guilli (2004), Serra (2001), Luchetta (2000), Garbi (2009), Boyer (1974), Eves (1997), Santos (2000), Imenes (2002) e Ifrah (1997). A metodologia utilizada foi pesquisa bibliográfica, o que permitiu rever conceitos primitivos que se aproximam das ideias mais contemporâneas que vieram revolucionar a matemática e áreas afins.  
O estudo nos revela também, que através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
A HISTÓRIA REVELA
A vida pouco a pouco foi se modificando, e suas necessidades também, assim cada povo: os incas, os maias, os egípcios, os gregos, os hindus, etc., organizaram formas diferentes de contagem e de fazer cálculos. A prática da contagem, em especial de pessoas e de animais, é muito antiga, assim como a agricultura, teve sua origem há 11.000 anos, na região hoje ocupada pelo Iraque, provavelmente entre os rios Tigres e Eufrates.
Na História da Humanidade, um marco importante foi a Revolução Agrícola, somente superada pela Revolução Industrial nos últimos séculos. E com esta revolução, o homem procurou formas mais seguras de atender às suas necessidades. Parou de viver em cavernas e começou a construir seus próprios refúgios “as casas”, a cultivar seu próprio alimento, a criar animais ao invés de apenas pescar, caçar e recolher. Com o surgimento dessas outras atividades, fazia-se necessário o seu controle. A população foi aumentando pouco a pouco, isto demandou uma nova organização do trabalho, a necessidade do desenvolvimento de técnicas de estocagem e divisão da terra e de sua produção. Surgiram, assim, as primeiras cidades, como também seus governantes e a coleta de impostos.
Diante destes dados históricos, onde poderia ser localizado o início da criação dos números? Segundo Garbi, (2009, p. 9):
Durante muitos séculos após sua invenção, o uso das escritas mesopotâmia e egípcia permaneceu ainda restrita a um pequeno número de pessoas, os chamados escribas. Ao fazê-lo, precisavam realizar pequenos cálculos aritméticos e geométricos de modo que seus conhecimentos não mais poderiam limitar-se às técnicas das letras e dos símbolos, mas deveriam incluir rudimentos matemáticos, que eles próprios desenvolviam e passavam a seus sucessores. Por isso, costuma-se dizer que os primeiros conhecimentos matemáticos foram sendo acumulados de maneira indutiva (ou empírica) e não dedutiva.
Preliminarmente, começa-se com o número 1(um), que a milhões de anos atrás, o número era só um osso e este é conhecido como osso Ishango, que recentemente foi encontrado no Congo. Antropólogos e pesquisadores observaram que no osso existiam marcas e riscos que representavam 1(um), pois haviam 60 marcas do lado direito e mais 60 do lado esquerdo. E na parte de trás, estavam agrupadas em números iguais. E não dá para fazer isso sem contar.
Figura 1. Osso de Ishango
  
Então, este osso Ishango, pode ter marcado um momento crucial para a humanidade, os historiadores dizem que outros mamíferos conseguem contar de 3 até 4, não mais, por exemplo, o macaco. Transformando o 1(um) em um risco, nossos ancestrais foram capazes de contar até 1,2,3,4,5,6... na verdade podiam contar os números uns que quisessem. Foi isso que nos deu vantagem, sobre os leões e tigres (animais irracionais). Desse ponto em diante, o homem passou a não ter limites.
A próxima etapa do número 1(um) aconteceria na antiga civilização da Suméria, no Oriente Médio, perto da época 4.000 a.C. Nessa época, o povo da Suméria, parou de riscar em ossos e começou a representar o número 1(um), como uma peça em forma de cone.
Figura 2. Representação das peças em forma de cone
Esta transformação mudou não somente a vida do número 1(um), mas também o curso de nossa história. A invenção dos cones permitiu aos Sumérios, fazer algo que ninguém jamais fizera. Fazendo riscos ou marcas em paus ou ossos só se poderiam fazer somas, mas com os cones era possível subtrair.
Então vamos imaginar como acontecia isso: imagine que você tem seis galinhas e você come cinco delas, as galinhas eram representadas em formas de cone.
Figura 3. Representação das peças em forma de cone – utilizadas para contar “calcular”
 
Assim, os Sumérios descobriram a aritmética. Mas por que aconteceu na Suméria? O que havia de diferente na vida das pessoas no Oriente Médio? Talvez, por que houvesse muitas pessoas vivendo no mesmo lugar. Os Sumérios viviam em cidades, que precisavam de organização, por exemplo, os grãos tinham que ser estornados e distribuídos entre todos e para descobrir o quanto cada pessoa deveria receber a aritmética era essencial. Foi assim, que os Sumérios transformaram o 1(um) em peças na forma de cone. Essas peças tornaram possível a aritmética exigida para mensurar riquezas, calcular ganhos e perdas e o mais importante, coletar impostos.
Continuando nossa história pela criação dos números, e como os números inteiros são coleções de uns, o número 1(um) deveria ser a matéria essencial para que o universo fosse construído. Se o número 1(um) estava no centro de tudo, também deveria estar na essência de todos os triângulos. Até mesmo do triângulo retângulo, com dois lados iguais, Pitágoras segue tentando demonstrar e construir o triângulo com três lados contados com unidades exatas, mais o problema é que o numero 1(um) não estava. Surgia assim, o primeiro problema matemático de nossa história.
Mas quem foi mesmo Pitágoras? Nasceu em Samos cerca de 580 anos a.C., uma das ilhas do Dodecaneso, na Grécia, provavelmente, recebeu instrução matemática e filosófica de Tales e de seus discípulos. Após viver algum tempo entre jônicos, viajou pelo Egito e Babilônia - possivelmente indo até a Índia. Durante suas peregrinações, ele absorveu não só informações matemáticas e astronômicas como também muitas ideias religiosas. Quando voltou ao mundo grego, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona, na Magna Grécia (na costa sudoeste da atual Itália), onde fundou a Escola Pitagórica, dedicada a estudos religiosos, científicos e filosóficos. À Pitágoras são atribuídas várias descobertas sobre as propriedades dos números inteiros, a construção de figuras geométricas e a demonstração do teorema que leva seu nome (cujo enunciado já era conhecido pelos babilônios). Os próprios termos Filosofia (amor à sabedoria) e Matemática (o que é aprendido) seriam criações de Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais (SANTOS, 2000).
Segundo, Luchetta (2000) enfatiza que:
os membros da Escola Pitagórica recebiam uma educação formal, onde constavam quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música, que constituíram as artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade Média como o Quadrivum, que era considerado a bagagem cultural necessária de uma pessoa bem educada. Os pitagóricos elevaram a matemática à categoria das ciências liberais, isto é, tornaram-na independente das necessidades práticas e a transformaram em uma atividade puramente intelectual.
Na filosofia pitagórica afirmava-se que tudo é número, ou seja, na concepção cosmogônica dos primeiros pitagóricos, a extensão era descontínua, constituída de unidades indivisíveis separadas por um intervalo. Esta ideia provinha do estudo dos números naturais, quando aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser expressas na forma de razão de inteiros, isto é, pudessem ser mensuradas, tendo por base um segmento fixado como unitário. Mas eles notaram que a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade é igual a e que este número é incomensurável (hoje esses números são chamados de números irracionais). Esta descoberta foi recebida com grande consternação pelos pitagóricos, pois em certo sentido contrariava as crenças da escola e seria uma imperfeição da divindade. Informações baseadas nas bibliografias de Boyer (1974) em “História da Matemática”, e Eves (1997) em “Introdução à História da Matemática”.
Existem alguns princípios que governam os números, que para Luchetta (2000), afirma que Pitágoras:
No estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma tensão relativa), descobriram as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números inteiros simples do tipo Pitágoras, etc.. Assim, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior. Os princípios que governam os números eram, supunham-se os princípios de todas as existências reais; e, como os números são os componentes primários das grandezas matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos números eram os elementos das realidades.
Com isso foi desenvolvido o princípio dos números figurados complementando as concepções iniciais. Conforme Serra (2001) comenta:
Os Pitagóricos ocupavam-se antes a descobrir as propriedades dos números, sem se preocupar com as suas aplicações, tal como faz hoje um investigador em teoria dos números. Eles desenvolveram, em particular, o princípio dos números figurados, onde os inteiros estão dispostos em forma de triângulos ou de outros polígonos. Usando essa representação deduziram algumas propriedades interessantes.
A teoria dos números figurados está exposta na Aritmética de Nicómaco (100 d.c), livro que desempenhou um papel muito importante na história da aritmética. A partir de agora vejamos as concepções dos números figurados.
NÚMEROS FIGURADOS
Pitágoras concebeu os números triangulares constituídos pelos números naturais (inteiros positivos) dispostos em triângulo: Uma observação importante é que todo número perfeito par é triangular. Os números perfeitos são aqueles que a soma de seus divisores resulta nele mesmo, exemplo o 6 cujo seus divisores são o 1, 2 e o 3 e sua soma é 6.
Figura 4. Números triangulares constituídos pelos números naturais




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1
3
6
10
15
21
Fonte: http://www.triplov.com/alquimias/iserra_2001.html
Cada número triangular corresponde à soma dos primeiros números naturais: 1=1; 3=1+2; 6=1+2+3; 10=1+2+3+4; 15=1+2+3+4+5; etc. É fácil verificar que 1=(1x2)/2 (primeiro número triangular); 3=(2x3)/2 (segundo número triangular); 6=(3x4)/2 (terceiro nº. triangular).
Para encontrar o 7º número triangular basta calcular (7x8)/2=28, e o n décimo número triangular é calculado pela fórmula n(n+1)/2.
Os outros membros da Escola Pitagórica construíram os números poligonais (números quadrados e números pentagonais) e usaram essas representações para deduzir propriedades dos números inteiros. Por exemplo, a seguinte propriedade dos números ímpares: a soma dos primeiros n ímpares é um quadrado perfeito pode ser deduzida a partir da representação geométrica em números quadrados.
Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.


Figura 5. Teorema de Pitágoras - Uma das formas de demonstração.

200px-Pythagoraas 
Fonte:http://www.cadernodemensagens.net/Pitágoras
O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:
Figura 6. Raiz quadrado do número 2
1^2 + 1^2 = x^2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}
Veja, como o teorema de Pitágoras ajudou a descoberta do primeiro número irracional, veja:
Figura 7. A ideia do número irracional √2
http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-11%2812%29.jpg

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm
Então todo o sistema de crenças de Pitágoras de que o mundo era feito de unidade era mentira? Claro que não! O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que: “em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos”.
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas: “em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos”.
Para ambos os enunciados, pode-se equacionar
c^2 = b^2 + a^2,
onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.
Com a demonstração de seu teorema, Pitágoras confirmou sua crença que o mundo era feito de unidade, e o número 1(um), não era mais a essência do universo. Quando os romanos invadiram a cidade da Grécia, morria a Teoria Matemática no mundo clássico. Os romanos não se interessavam por abstração como calcular o peso dos objetos, estavam interessados em Poder. A Matemática Teórica não era para eles. O surgimento dos algarismos romanos não facilitam as coisas.



Figura 8.Algarismos romanos.
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Como outras civilizações da Antiguidade, Roma criou seu próprio sistema numérico. Apesar de atingirem, em poucos séculos, um elevado nível técnico consequente das conquistas territoriais e aprendizado com os colonizados, os romanos desenvolveram um sistema complexo e pouco operacional. (http://numeros-romanos.info/).
Os números romanos, apesar de todas as dificuldades operatórias apresentadas, foram atualizados e perduraram durante todo o Império Romano, Idade Média e Idade Moderna. Situada na Itália, Roma foi responsável por inscrições numéricas em prédios, muros e lápides da cidade turística há 2200 anos. Em sua numeração, eram utilizadas letras maiúsculas da língua nativa, o latim, difundidas e adotadas por muitos povos da região imperial.
As letras usadas para simbolizar as quantidades eram: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). O numeral 0 (zero) não tinha nenhuma representação, sendo posteriormente introduzido pelos árabes. Esses símbolos, facilmente identificados na atualidade, são resultados da transformação de outros mais antigos.
Assim, os algarismos romanos não serviam para calcular. Qualquer cálculo tinha que ser feito em uma tábua de contagem, uma versão primitiva.
Segue abaixo um exemplo de como eram feitos os cálculos matemáticos com os números romanos e ao lado com os números indianos:


Figura 9. Números romanos e números indianos.
Fonte: Ifrah.
Fonte: Ifrah.
Continuando nossa história sobre a criação dos números, vamos para a Índia. Guelli (2004) relata que os indianos criaram um sistema capaz de lidar com números enormes. O sistema numérico indiano, também chamado de hindu, não utilizava figuras ou letras para representar números. No início, ele era formado por nove símbolos, que representavam de 1(um) ao 9(nove). Depois, há cerca de 2.600 anos atrás, eles criaram um décimo símbolo, para representar o vazio.
Figura 10. Sistema numérico indiano
Fonte: Guelli.
Fonte: Guelli.
Os indianos criaram um sistema decimal e posicional. Isto porque ele é formado por dez símbolos, com os quais se escreve qualquer número, e porque a ordem do símbolo na representação do número influencia no seu valor.
Esta era a chave do sucesso do sistema indiano. Ele foi, por muito tempo, de uso exclusivo deste povo. Entretanto, isto mudaria por causa da curiosidade de um certo matemático árabe.
Seu nome era Al-Khowarizmi. Ele estudou por muito tempo a matemática indiana. Percebeu o quanto o sistema indiano facilitava cálculos e, ao mesmo tempo, o quanto era simples. Um sistema fantástico, que todos deveriam aprender. E foi por isso que Al-Khowarizmi escreveu o livro Sobre a arte hindu de calcular. Queria contar aquela novidade ao mundo.
Com o livro, matemáticos de todas as partes ficaram por dentro dos estudos do sábio árabe. Os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ficaram conhecidos como a notação de Al-Khowarizmi. Daí o nome algarismo, forma latina de falar o nome árabe.
Figura 11. Dos números hindus até os atuais.
Dos números hindus até os atuais. Fonte: Imenes.
Fonte: Imenes.
Os símbolos inventados pelos indianos e divulgados pelos árabes são os números que utilizamos hoje. Por isso, eles formam o chamado sistema indo-arábico de numeração.

Informações retiradas no site http://www.invivo.fiocruz.br, do artigo “O sistema numérico indiano e sua divulgação árabe”, onde também cita a importância da descoberta dos vários sistemas de numeração que foram criados por diferentes civilizações e todos eles “sistemas” foram inventados para facilitar a contagem. Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.

 0   13   35   98
            1.024   3.645.872

Assim, estes sistemas de numeração hindu recebeu o nome de números naturais, pela necessidade que foram criados de contar as coisas da natureza. Os números naturais facilitou muito o trabalho com números fracionários. Já, não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios.  O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais, que na matemática significa divisão.
Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais, chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi um grande marco para o desenvolvimento da Matemática.
CONSIDERAÇÕES
Neste estudo apresentou-se um pouco da história da criação dos números e como o homem teve as primeiras noções de números através de marcas e riscos nos ossos. Com o passar do tempo e a evolução da humanidade, mesmo nos povos mais atrasados, encontramos no homem o sentido do número. Essa necessidade e curiosidade permitiu reconhecer que algo muda em uma pequena coleção de coisas, mesmo sem seu conhecimento direto de sentido nos números e de matemática.
O sentido do número, para o homem, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo de descoberta, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais irracionais parecem possuir um sentido rudimentar do número, como já mencionado, alguns conseguem contar de 3 até 4, mais não, além disso, por exemplo, o macaco. Muitos pássaros têm o sentido do número.
Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltar dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três. E através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade. Mas o que é contar? De acordo com dicionário Aurélio da Língua Portuguesa, tem o sentido: v. t. Determinar o número de. Enumerar. Calcular. Ter o número de. (http://www.dicionarioweb.com.br/contar/)
Todavia, em nosso quotidiano usamos os números para tudo. Mais nunca paramos para pensar sobre sua origem. Qual foi à importância e necessidade de seu surgimento para a humanidade? O fato é que, não pensamento mesmo sobre a criação dos números, e a vida moderna que levamos hoje como ela apresenta-se, seria impensável sem os números. Mas o que é número? Número é um conceito matemático que usamos para a representação de medida, ordem ou quantidade. Os números são classificados como naturais (1, 2, 3,...), inteiros (...-2, -1, 0, 1, 2,...), racionais (contêm os inteiros e as suas frações ou razões), reais (contêm os racionais e outros que não podem ser expressos através de uma fração, como por exemplo √2 ou π) e ainda, os números complexos (contêm os números reais e raízes negativas).
Todas aquelas simples operações que executamos em nosso dia a dia, o fato é que o progresso da humanidade envolveu e sempre envolverá este mistério “os números”. De todas as invenções que a humanidade já produziu e continuam a produzir, os números ocupam sempre um lugar fundamental, mesmo que discretos. Mesmo que despercebidos, sabemos que eles estão presentes. Podemos afirmar que após a descoberta dos números, especialmente as suas representações numéricas a humanidade sofreu uma evolução significativa.
Uma indagação podemos fazer: O que seria da humanidade no modo de vida hoje, sem a presença dos números?
Referências
BOYER, Carl B. História da Matemática. Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
EVES, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.
GARBI, Gilberto Geraldo. O romance das equações algébricas. 3.ed. ver. e ampl. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática – A invenção dos números. São Paulo: Ática, 2004.
IFRAH, Georges. História Universal dos Algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tomo 1. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.
IMENES, Luiz Márcio Pereira. A numeração indo-arábica. São Paulo: Scipione, 2002. (Coleção Vivendo a matemática).
LUCHETTA, Valéria Ostete Jannis. Pitágoras de Samos. 2000. Acesso em <www.dm.ufscar.br>
SANTOS, Mário Ferreira. Pitágoras e o tema do número. São Paulo: Ibrasa, 2000.
SERRA, Isabel. Entre a mística dos números e o rigor do cálculo. In: Discursos e práticas alquímicas. Colóquio Internacional III. Lisboa, 2001. Acesso em < http://www.triplov.com/alquimias/iserra_2001.html >
http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/pitagoras.html - abordando o assunto sobre Pitágoras.
www.brasilescola.com/filosofia/pitagoras-1.htm - abordando o assunto sobre Pitágoras.
www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=984&sid=9 - abordando o assunto sobre os números romanos e indianos.
www.mundoeducacao.com.br › Matemática - abordando o assunto sobre a origem e surgimento dos números.
www.somatematica.com.br/numeros - abordando o assunto sobre a origem e surgimento dos números.
http://numeros-romanos.info/ Números romanos.
http://www.dicionarioweb.com.br/contar/ Dicionário de significados.



[1] Alunos do Curso de Licenciatura em Matemática – IFAL – Campus Maceió
[2] Professor – Orientador – IFAL – Campus Maceió
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