Matemática na Prática
Sejam todos bem vindos!
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" A ausência de conhecimento e informação é alma da ignorância"
Michele B. de Mendonça
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Michele B. de Mendonça
sexta-feira, 13 de fevereiro de 2015
terça-feira, 3 de fevereiro de 2015
segunda-feira, 2 de fevereiro de 2015
segunda-feira, 14 de outubro de 2013
DONALD NO PAIS DA MATEMÁGICA
Olá, Pessoal!
Vamos assistir ao vídeo " Donald no país da matemática", e depois vamos discutir e tirar as dúvidas em sala de aula, certo.
Vamos assistir ao vídeo " Donald no país da matemática", e depois vamos discutir e tirar as dúvidas em sala de aula, certo.
Números: uma ideia que revolucionou a maneira de pensar
números:
uma ideia que revolucionou a maneira de pensar
Edson da Silva e Michele Bulhões de Mendonça[1]
Luiz Galdino[2]
Resumo
Conjectura-se
que há milhões de anos as civilizações, já manuseavam a matemática, mesmo sem
saber contar. Assim, surgiu à necessidade e curiosidade do homem em saber o
significado de “quantidade” e, nossa primeira atitude houve necessidade de
registros de representação. Mas os homens não conheciam os números, nem seu conceito
e, muito menos sabiam contar. Então como surgiram os números? Para responder a
essa indagação e a muitas outras, precisa-se ter uma ideia de como os homens
viviam e quais eram suas necessidades. Buscando responder a essas indagações,
haja vista a importância desse conceito para se compreender a matemática, este
estudo, trata de uma pesquisa bibliográfica que será fundamentada nos estudos
de Boyer (1974) quando trata da História da Matemática, Eves (1997) quando
trata à História da Matemática. Espera-se que esta discussão possa contribuir
para reflexões em minha futura trajetória.
Palavras-chave:
Civilizações antigas. Números. Matemática.
Introdução
O
objetivo deste estudo é esclarecer as indagações da criação dos números, seu
surgimento e sua utilização. Para responder a todas estas perguntas, precisa-se,
primeiramente, saber como viviam os homens há milhões de anos e quais eram suas
necessidades. No início de nossa civilização, o homem precisava: caçar, pescar,
colher frutos para se alimentar e usava como instrumento, trabalho e defensa,
paus e pedras.
Na intenção de compreender o processo
de construção desse conceito, procura-se fundamentar nos estudos de Guilli
(2004), Serra (2001), Luchetta (2000), Garbi (2009), Boyer (1974), Eves (1997),
Santos (2000), Imenes (2002) e Ifrah (1997). A metodologia utilizada foi
pesquisa bibliográfica, o que permitiu rever conceitos primitivos que se
aproximam das ideias mais contemporâneas que vieram revolucionar a matemática e
áreas afins.
O estudo nos revela também, que
através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua
percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer
influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de
contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
A HISTÓRIA REVELA
A
vida pouco a pouco foi se modificando, e suas necessidades também, assim cada
povo: os incas, os maias, os egípcios, os gregos, os hindus, etc., organizaram
formas diferentes de contagem e de fazer cálculos. A prática da contagem, em
especial de pessoas e de animais, é muito antiga, assim como a agricultura,
teve sua origem há 11.000 anos, na região hoje ocupada pelo Iraque,
provavelmente entre os rios Tigres e Eufrates.
Na
História da Humanidade, um marco importante foi a Revolução Agrícola, somente
superada pela Revolução Industrial nos últimos séculos. E com esta revolução, o
homem procurou formas mais seguras de atender às suas necessidades. Parou de
viver em cavernas e começou a construir seus próprios refúgios “as casas”, a
cultivar seu próprio alimento, a criar animais ao invés de apenas pescar, caçar
e recolher. Com o surgimento dessas outras atividades, fazia-se necessário o
seu controle. A população foi aumentando pouco a pouco, isto demandou uma nova
organização do trabalho, a necessidade do desenvolvimento de técnicas de
estocagem e divisão da terra e de sua produção. Surgiram, assim, as primeiras
cidades, como também seus governantes e a coleta de impostos.
Diante
destes dados históricos, onde poderia ser localizado o início da criação dos
números? Segundo Garbi, (2009, p. 9):
Durante
muitos séculos após sua invenção, o uso das escritas mesopotâmia e egípcia
permaneceu ainda restrita a um pequeno número de pessoas, os chamados escribas.
Ao fazê-lo, precisavam realizar pequenos cálculos aritméticos e geométricos de
modo que seus conhecimentos não mais poderiam limitar-se às técnicas das letras
e dos símbolos, mas deveriam incluir rudimentos matemáticos, que eles próprios
desenvolviam e passavam a seus sucessores. Por isso, costuma-se dizer que os
primeiros conhecimentos matemáticos foram sendo acumulados de maneira indutiva
(ou empírica) e não dedutiva.
Preliminarmente,
começa-se com o número 1(um), que a milhões de anos atrás, o número era só um
osso e este é conhecido como osso Ishango,
que recentemente foi encontrado no Congo. Antropólogos e pesquisadores
observaram que no osso existiam marcas e riscos que representavam 1(um), pois
haviam 60 marcas do lado direito e mais 60 do lado esquerdo. E na parte de
trás, estavam agrupadas em números iguais. E não dá para fazer isso sem contar.
Figura 1. Osso de Ishango
Então,
este osso Ishango, pode ter marcado um
momento crucial para a humanidade, os historiadores dizem que outros mamíferos
conseguem contar de 3 até 4, não mais, por exemplo, o macaco. Transformando o
1(um) em um risco, nossos ancestrais foram capazes de contar até 1,2,3,4,5,6...
na verdade podiam contar os números uns que quisessem. Foi isso que nos deu
vantagem, sobre os leões e tigres (animais irracionais). Desse ponto em diante,
o homem passou a não ter limites.
A
próxima etapa do número 1(um) aconteceria na antiga civilização da Suméria, no
Oriente Médio, perto da época 4.000 a.C. Nessa época, o povo da Suméria, parou
de riscar em ossos e começou a representar o número 1(um), como uma peça em
forma de cone.
Figura 2. Representação das peças em forma de cone
Esta
transformação mudou não somente a vida do número 1(um), mas também o curso de
nossa história. A invenção dos cones permitiu aos Sumérios, fazer algo que
ninguém jamais fizera. Fazendo riscos ou marcas em paus ou ossos só se poderiam
fazer somas, mas com os cones era possível subtrair.
Então
vamos imaginar como acontecia isso: imagine que você tem seis galinhas e você
come cinco delas, as galinhas eram representadas em formas de cone.
Figura 3. Representação das peças em forma de cone –
utilizadas para contar “calcular”
Assim,
os Sumérios descobriram a aritmética. Mas por que aconteceu na Suméria? O que
havia de diferente na vida das pessoas no Oriente Médio? Talvez, por que
houvesse muitas pessoas vivendo no mesmo lugar. Os Sumérios viviam em cidades,
que precisavam de organização, por exemplo, os grãos tinham que ser estornados
e distribuídos entre todos e para descobrir o quanto cada pessoa deveria
receber a aritmética era essencial. Foi assim, que os Sumérios transformaram o
1(um) em peças na forma de cone. Essas peças tornaram possível a aritmética exigida
para mensurar riquezas, calcular ganhos e perdas e o mais importante, coletar
impostos.
Continuando
nossa história pela criação dos números, e como os números inteiros são
coleções de uns, o número 1(um) deveria ser a matéria essencial para que o universo
fosse construído. Se o número 1(um) estava no
centro de tudo, também deveria estar na essência de todos os triângulos. Até
mesmo do triângulo retângulo, com dois lados iguais, Pitágoras segue tentando
demonstrar e construir o triângulo com três lados contados com unidades exatas,
mais o problema é que o numero 1(um) não estava. Surgia assim, o primeiro
problema matemático de nossa história.
Mas quem foi mesmo Pitágoras? Nasceu em Samos cerca de 580 anos a.C., uma das ilhas
do Dodecaneso, na Grécia, provavelmente, recebeu instrução matemática e
filosófica de Tales e de seus discípulos. Após viver algum tempo entre jônicos,
viajou pelo Egito e Babilônia - possivelmente indo até a Índia. Durante suas
peregrinações, ele absorveu não só informações matemáticas e astronômicas como
também muitas ideias religiosas. Quando voltou ao mundo grego, Pitágoras
estabeleceu-se em Crotona, na Magna Grécia (na costa sudoeste da atual Itália),
onde fundou a Escola Pitagórica, dedicada a estudos religiosos, científicos e
filosóficos. À Pitágoras são atribuídas várias descobertas sobre as
propriedades dos números inteiros, a construção de figuras geométricas e a
demonstração do teorema que leva seu nome (cujo enunciado já era conhecido
pelos babilônios). Os próprios termos Filosofia (amor à sabedoria) e Matemática
(o que é aprendido) seriam criações de Pitágoras para descrever suas atividades
intelectuais (SANTOS, 2000).
Segundo, Luchetta (2000) enfatiza que:
os
membros da Escola Pitagórica recebiam uma educação formal, onde constavam
quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música, que
constituíram as artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade
Média como o Quadrivum, que era considerado a bagagem cultural necessária de
uma pessoa bem educada. Os pitagóricos elevaram a matemática à categoria das
ciências liberais, isto é, tornaram-na independente das necessidades práticas e
a transformaram em uma atividade puramente intelectual.
Na filosofia pitagórica afirmava-se
que tudo é número, ou seja, na concepção cosmogônica dos primeiros pitagóricos,
a extensão era descontínua, constituída de unidades indivisíveis separadas por
um intervalo. Esta ideia provinha do estudo dos números naturais, quando
aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser
expressas na forma de razão de inteiros, isto é, pudessem ser mensuradas, tendo
por base um segmento fixado como unitário. Mas eles notaram que a diagonal de
um quadrado cujos lados medem uma unidade é igual a e que este número é incomensurável
(hoje esses números são chamados de números irracionais). Esta descoberta foi
recebida com grande consternação pelos pitagóricos, pois em certo sentido
contrariava as crenças da escola e seria uma imperfeição da divindade. Informações
baseadas nas bibliografias de Boyer (1974) em “História da Matemática”, e Eves
(1997) em “Introdução à História da Matemática”.
Existem alguns princípios que governam
os números, que para Luchetta (2000), afirma que Pitágoras:
No
estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma tensão relativa),
descobriram as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o
comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos
seguiam a proporção dos números inteiros simples do tipo , etc.. Assim,
Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas
da natureza e que constituía sua harmonia interior. Os princípios que governam
os números eram, supunham-se os princípios de todas as existências reais; e,
como os números são os componentes primários das grandezas matemáticas e, ao
mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se
que os elementos dos números eram os elementos das realidades.
Com isso foi desenvolvido o princípio
dos números figurados complementando as concepções iniciais. Conforme Serra
(2001) comenta:
Os
Pitagóricos ocupavam-se antes a descobrir as propriedades dos números, sem se
preocupar com as suas aplicações, tal como faz hoje um investigador em teoria
dos números. Eles desenvolveram, em particular, o princípio dos números
figurados, onde os inteiros estão dispostos em forma de triângulos ou de outros
polígonos. Usando essa representação deduziram algumas propriedades
interessantes.
A teoria dos números figurados está exposta
na Aritmética de Nicómaco (100 d.c), livro que desempenhou um papel muito
importante na história da aritmética. A partir de agora vejamos as concepções
dos números figurados.
NÚMEROS
FIGURADOS
Pitágoras concebeu os números
triangulares constituídos pelos números naturais (inteiros positivos) dispostos
em triângulo: Uma observação importante é que todo número perfeito
par é triangular. Os números perfeitos são aqueles que a soma de seus
divisores resulta nele mesmo, exemplo o 6 cujo seus divisores são o 1, 2 e o 3
e sua soma é 6.
Figura
4. Números
triangulares constituídos pelos números naturais
. |
. . . . |
. . . . . . |
. .. ... .... |
. .. ... .... ..... |
. ... .... ..... ....... |
1
|
3
|
6
|
10
|
15
|
21
|
Fonte: http://www.triplov.com/alquimias/iserra_2001.html
Cada número triangular corresponde à
soma dos primeiros números naturais: 1=1; 3=1+2; 6=1+2+3; 10=1+2+3+4;
15=1+2+3+4+5; etc. É fácil verificar que 1=(1x2)/2 (primeiro número
triangular); 3=(2x3)/2 (segundo número triangular); 6=(3x4)/2 (terceiro nº.
triangular).
Para encontrar o 7º número triangular
basta calcular (7x8)/2=28, e o n décimo número triangular é calculado pela
fórmula n(n+1)/2.
Os outros membros da Escola Pitagórica
construíram os números poligonais (números quadrados e números pentagonais) e
usaram essas representações para deduzir propriedades dos números inteiros. Por
exemplo, a seguinte propriedade dos números ímpares: a soma dos primeiros n
ímpares é um quadrado perfeito pode ser deduzida a partir da representação geométrica
em números quadrados.
Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados
de um triângulo
retângulo. Pitágoras
provou que a soma dos quadrados dos catetos
é igual ao quadrado da hipotenusa.
Figura 5. Teorema de Pitágoras - Uma das formas de demonstração.
Fonte:http://www.cadernodemensagens.net/Pitágoras
O primeiro número
irracional a ser
descoberto foi a raiz
quadrada do número 2,
que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de
catetos valendo 1:
Figura
6. Raiz quadrado do número 2
Veja, como o teorema de Pitágoras
ajudou a descoberta do primeiro número irracional, veja:
Figura
7. A ideia do número irracional √2
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm
Então todo o sistema de crenças de
Pitágoras de que o mundo era feito de unidade era mentira? Claro que não! O teorema de Pitágoras é uma relação
matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo
retângulo. Na geometria
euclidiana, o teorema afirma que: “em qualquer triângulo
retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos”.
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos
são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos,
mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas: “em qualquer triângulo retângulo, a
área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à
soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos”.
Para ambos os enunciados, pode-se equacionar
onde
c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b
representam os comprimentos dos outros dois lados.
Com a demonstração de seu teorema,
Pitágoras confirmou sua crença que o mundo era feito de unidade, e o número
1(um), não era mais a essência do universo. Quando os romanos invadiram a
cidade da Grécia, morria a Teoria Matemática no mundo clássico. Os romanos não
se interessavam por abstração como calcular o peso dos objetos, estavam
interessados em Poder. A Matemática Teórica não era para eles. O surgimento dos
algarismos romanos não facilitam as coisas.
Figura 8.Algarismos romanos.
Fonte:
numeros-romanos.info
Como outras civilizações
da Antiguidade, Roma criou seu próprio sistema numérico. Apesar de atingirem,
em poucos séculos, um elevado nível técnico consequente das conquistas
territoriais e aprendizado com os colonizados, os romanos desenvolveram um
sistema complexo e pouco operacional. (http://numeros-romanos.info/).
Os números romanos, apesar
de todas as dificuldades operatórias apresentadas, foram atualizados e perduraram
durante todo o Império Romano, Idade Média e Idade Moderna.
Situada na Itália, Roma foi responsável por
inscrições numéricas em prédios, muros e lápides da cidade turística há 2200 anos. Em sua numeração, eram utilizadas letras
maiúsculas da língua nativa, o latim,
difundidas e adotadas por muitos povos da região imperial.
As letras usadas para
simbolizar as quantidades eram: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). O numeral 0 (zero) não tinha nenhuma representação, sendo
posteriormente introduzido pelos árabes. Esses símbolos, facilmente
identificados na atualidade, são resultados da transformação de outros mais
antigos.
Assim, os algarismos romanos
não serviam para calcular. Qualquer cálculo tinha que ser feito em uma tábua de
contagem, uma versão primitiva.
Segue abaixo um exemplo de como eram
feitos os cálculos matemáticos com os números romanos e ao lado com os números
indianos:
Figura 9. Números romanos e números indianos.
Fonte: Ifrah.
Continuando nossa história
sobre a criação dos números, vamos para a Índia. Guelli (2004) relata que os indianos
criaram um sistema capaz de lidar com números enormes. O sistema
numérico indiano, também chamado de hindu, não utilizava figuras ou letras para
representar números. No início, ele era formado por nove símbolos, que
representavam de 1(um) ao 9(nove). Depois, há cerca de 2.600 anos atrás, eles
criaram um décimo símbolo, para representar o vazio.
Figura 10. Sistema
numérico indiano
Fonte: Guelli.
Os indianos criaram um sistema decimal
e posicional. Isto porque ele é formado por dez símbolos, com os quais se
escreve qualquer número, e porque a ordem do símbolo na representação do número
influencia no seu valor.
Esta era a chave do sucesso do sistema
indiano. Ele foi, por muito tempo, de uso exclusivo deste povo. Entretanto,
isto mudaria por causa da curiosidade de um certo matemático árabe.
Seu nome era Al-Khowarizmi. Ele
estudou por muito tempo a matemática indiana. Percebeu o quanto o sistema
indiano facilitava cálculos e, ao mesmo tempo, o quanto era simples. Um sistema
fantástico, que todos deveriam aprender. E foi por isso que Al-Khowarizmi
escreveu o livro Sobre a
arte hindu de calcular. Queria contar aquela novidade ao mundo.
Com o livro, matemáticos de todas as
partes ficaram por dentro dos estudos do sábio árabe. Os símbolos 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 e 9 ficaram conhecidos como a notação de Al-Khowarizmi. Daí o
nome algarismo, forma latina de falar o nome árabe.
Figura
11. Dos números hindus até os atuais.
Fonte:
Imenes.
Os símbolos inventados pelos indianos
e divulgados pelos árabes são os números que utilizamos hoje. Por isso, eles
formam o chamado sistema indo-arábico de numeração.
Informações retiradas no site http://www.invivo.fiocruz.br, do artigo “O sistema numérico indiano e sua divulgação árabe”, onde também cita a importância da descoberta dos vários sistemas de numeração que foram criados por diferentes civilizações e todos eles “sistemas” foram inventados para facilitar a contagem. Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
0 13 35
98
1.024 3.645.872
Assim, estes sistemas de numeração
hindu recebeu o nome de números naturais, pela necessidade que foram criados de
contar as coisas da natureza. Os números naturais facilitou muito o trabalho com
números fracionários. Já, não havia mais necessidade de escrever um número
fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os
matemáticos egípcios. O número
fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais, que
na matemática significa divisão.
Portanto, os números inteiros e os
números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números
naturais, chamados de números
racionais. A descoberta de números racionais foi um grande marco
para o desenvolvimento da Matemática.
CONSIDERAÇÕES
Neste estudo apresentou-se
um pouco da história da criação dos números e como o homem teve as primeiras
noções de números através de marcas e riscos nos ossos. Com o passar do tempo e
a evolução da humanidade, mesmo nos povos mais atrasados, encontramos no homem
o sentido do número. Essa necessidade e curiosidade permitiu reconhecer que
algo muda em uma pequena coleção de coisas, mesmo sem seu conhecimento direto
de sentido nos números e de matemática.
O sentido do número, para
o homem, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo de descoberta,
não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais
complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de
animais irracionais parecem possuir um sentido rudimentar do número, como já
mencionado, alguns conseguem contar de 3 até 4, mais não, além disso, por
exemplo, o macaco. Muitos pássaros têm o sentido do número.
Se um ninho contém quatro
ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará
o ninho se faltar dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir
dois de três. E através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a
completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava
destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse
artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da
humanidade. Mas o que é contar? De acordo com dicionário Aurélio da Língua
Portuguesa, tem o sentido: v. t. Determinar o número de. Enumerar. Calcular. Ter
o número de. (http://www.dicionarioweb.com.br/contar/)
Todavia, em nosso quotidiano usamos os
números para tudo. Mais nunca paramos para pensar sobre sua origem. Qual foi à importância
e necessidade de seu surgimento para a humanidade? O fato é que, não pensamento
mesmo sobre a criação dos números, e a vida moderna que levamos hoje como ela
apresenta-se, seria impensável sem os números. Mas o que é número? Número é um
conceito matemático que usamos para a representação de medida, ordem ou
quantidade. Os números são classificados como naturais (1, 2, 3,...), inteiros
(...-2, -1, 0, 1, 2,...), racionais (contêm os inteiros e as suas frações ou
razões), reais (contêm os racionais e outros que não podem ser expressos
através de uma fração, como por exemplo √2 ou π) e ainda, os números
complexos (contêm os números reais e raízes negativas).
Todas aquelas simples
operações que executamos em nosso dia a dia, o fato é que o progresso da humanidade
envolveu e sempre envolverá este mistério “os números”. De todas as invenções
que a humanidade já produziu e continuam a produzir, os números ocupam sempre
um lugar fundamental, mesmo que discretos. Mesmo que despercebidos, sabemos que
eles estão presentes. Podemos afirmar que após a descoberta dos números,
especialmente as suas representações numéricas a humanidade sofreu uma evolução
significativa.
Uma indagação podemos
fazer: O que seria da humanidade no modo de vida hoje, sem a presença dos números?
Referências
BOYER, Carl
B. História da Matemática. Edgard
Blücher, São Paulo, 1974.
EVES,
Howard, Introdução à História da
Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.
GARBI,
Gilberto Geraldo. O romance das equações
algébricas. 3.ed. ver. e ampl. – São Paulo: Editora Livraria da Física,
2009.
GUELLI,
Oscar. Contando a História da Matemática
– A invenção dos números. São Paulo: Ática, 2004.
IFRAH,
Georges. História Universal dos
Algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo.
Tomo 1. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.
IMENES,
Luiz Márcio Pereira. A numeração
indo-arábica. São Paulo: Scipione, 2002. (Coleção Vivendo a matemática).
LUCHETTA,
Valéria Ostete Jannis. Pitágoras de Samos. 2000. Acesso em <www.dm.ufscar.br>
SANTOS,
Mário Ferreira. Pitágoras e o tema do
número. São Paulo: Ibrasa, 2000.
SERRA,
Isabel. Entre a mística dos números e o rigor do cálculo. In: Discursos e
práticas alquímicas. Colóquio
Internacional III. Lisboa, 2001. Acesso em < http://www.triplov.com/alquimias/iserra_2001.html
>
http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/pitagoras.html - abordando o assunto sobre Pitágoras.
www.brasilescola.com/filosofia/pitagoras-1.htm - abordando o assunto sobre Pitágoras.
www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=984&sid=9 - abordando o assunto sobre os
números romanos e indianos.
www.mundoeducacao.com.br
› Matemática - abordando o assunto sobre a origem
e surgimento dos números.
www.somatematica.com.br/numeros - abordando o assunto sobre a origem
e surgimento dos números.
http://numeros-romanos.info/
Números romanos.
http://www.dicionarioweb.com.br/contar/
Dicionário de significados.
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